斐波那契数与二分法的递归与非递归算法及其复杂度分析

1. 什么是斐波那契数?

这里我借用百度百科上的解释:斐波那契数,亦称之为斐波那契数列(意大利语: Successione di Fibonacci),又称黄金分割数列、费波那西数列、费波拿契数、费氏数列,指的是这样一个数列:0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n>=2,n∈N*),用文字来说,就是斐波那契数列列由 0 和 1 开始,之后的斐波那契数列系数就由之前的两数相加。特别指出:0不是第一项,而是第零项。

在这个斐波那契数列中的数字,就被称为斐波那契数。这个级数与大自然植物的关系极为密切。几乎所有花朵的花瓣数都来自这个级数中的一项数字:菠萝表皮方块形鳞苞形成两组旋向相反的螺线,它们的条数必须是这个级数中紧邻的两个数字(如左旋8行,右旋13行);还有向日葵花盘……直到最近的1993年,人们才对这个古老而重要的级数给出真正满意的解释:此级数中任何相邻的两个数,次第相除,其比率都最为接近0.618034……这个值,它的极限就是所谓的"黄金分割数"。

2. 求第N个斐波那契数

求第N个斐波那契数比较简单可以直接套用公式n = 1,2 时,fib(n) = 1;n > 2 时,fib(n) = fib(n-2) + fib(n-1)在计算时有两种算法:递归和非递归。如下:

 1 //非递归算法
 2 long long fib1(size_t N) {
 3     long long a = 0, b = 1, c = 0;
 4     if (N < 2) {
 5         return N;
 6     }
 7     else {
 8         for (long long i = 2; i <= N; ++i) {
 9             c = a + b;
10             a = b;
11             b = c;
12         }
13     }
14         return c;
15 }
16 int main()
17 {
18     printf("%lld", fib1(10));
19     getchar();
20     return 0;
21 }  //此算法最大的优点是不存在重复计算,故效率比递归算法快的多得多。
 1 //递归算法
 2 long long fib2(size_t N) {
 3     if (N < 2) 
 4         return N;
 5     return fib2(N - 1) + fib2(N - 2);
 6 }
 7 int main()
 8 {
 9     printf("%lld", fib2(10));
10     getchar();
11     return 0;
12 }

递归可以使程序看起来比较简洁,但缺点是效率比较低,并且可能导致栈溢出,当需要计算的数稍大一点,就需要很长的计算时间,因此需要灵活使用递归。

3. 二分法查找

3.1 二分查找的非递归算法

 1 template<typename T>  
 2 T* BinarySearch(T* array,int number,const T& data)  
 3 {  
 4        assert(number>=0);  
 5        int left = 0;  
 6        int right = number-1;  
 7        while (right >= left)  
 8        {  
 9               int mid = (left&right) + ((left^right)>>1);  
10               if (array[mid] > data)  
11               {  
12                      right = mid - 1;  
13               }  
14               else if (array[mid] < data)  
15               {  
16                      left = mid + 1;  
17               }  
18               else  
19               {  
20                      return (array + mid);  
21               }  
22        }  
23        return NULL;  
24 }  

3.2 二分查找的归算法

 1 template<typename T>  
 2 T* BinarySearch(T* left,T* right,const T& data)  
 3 {  
 4        assert(left);  
 5        assert(right);  
 6        if (right >=left)  
 7        {  
 8               T* mid =left+(right-left)/2;  
 9               if (*mid == data)  
10                      return mid;  
11               else  
12                      return *mid > data ? BinarySearch(left, mid - 1, data) : BinarySearch(mid + 1, right, data);  
13        }  
14        else  
15        {  
16               return NULL;  
17        }  
18 }  

4. 时间复杂度与空间复杂度

时间复杂度:一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n),进而分析f(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。这里用"O"来表示数量级,给出算法的时间复杂度。
      T(n)=O(f(n));                 
  它表示随着问题规模的n的增大,算法的执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,这称作算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。而我们一般讨论的是最坏时间复杂度,这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界,分析最坏的情况以估算算法指向时间的一个上界。
时间复杂度的分析方法:
(1)时间复杂度就是函数中基本操作所执行的次数;
(2)一般默认的是最坏时间复杂度,即分析最坏情况下所能执行的次数;
(3)忽略掉常数项;
(4)关注运行时间的增长趋势,关注函数式中增长最快的表达式,忽略系数;
(5)计算时间复杂度是估算随着n的增长函数执行次数的增长趋势;
(6)递归算法的时间复杂度为:递归总次数 * 每次递归中基本操作所执行的次数;
    常用的时间复杂度有以下七种,算法时间复杂度依次增加:O(1)常数型、O(log2 n)对数型、O(n)线性型、O(nlog2n)二维型、O(n^2)平方型、O(n^3)立方型、O(2^n)指数型。
空间复杂度:
  算法的空间复杂度并不是计算实际占用的空间,而是计算整个算法的辅助空间单元的个数,与问题的规模没有关系。算法的空间复杂度S(n)定义为该算法所耗费空间的数量级。
  S(n)=O(f(n))  若算法执行时所需要的辅助空间相对于输入数据量n而言是一个常数,则称这个算法的辅助空间为O(1); 
  递归算法的空间复杂度:递归深度N*每次递归所要的辅助空间, 如果每次递归所需的辅助空间是常数,则递归的空间复杂度是 O(N)。

5. 斐波那契数的时间复杂度与空间复杂度分析

5.1 非递归算法时间复杂度分析

 使用非递归算法求到第n个斐波那契数,是从第2个数开始,将前两个数相加求求后一个数,再将后一个数赋值给前一个数,再计算前两个数相加的结果。依次类推直到第n个数,用n-1个数和n-2个数相加求出结果,这样的好处是,我们只计算了n-1次就求出了结果,即时间复杂度为O(n);我们以代码中测试数10为例详解求第十个数的过程。当N=10时,进入函数首先判断,然后走下面的分支开始计算计算了N-1次,得出了结果所以时间复杂度是O(N)。

非递归算法空间复杂度分析
此函数内部最多时一共开辟了a, b, c, i四个变量空间复杂度是常数,即为O(1)。

5.2 递归算法时间复杂度分析

在递归算法中,求解fib2(n),把它推到求解fib2(n-1)和fib2(n-2)。也就是说,为计算fib2(n),必须先计算

fib2(n-1)和fib2(n-2),而计算fib2(n-1)和fib2(n-2),时按照表达式及计算法则,需先计算又必须先计算fib2(n-1),而fib2(n-1)由fib2(n-2)和fib2(n-3)计算得来,而这之中的和fib2(n-2)由fib2(n-3)和fib2(n-4)计算得来......依次类推,表面上看不出有何复杂度,但是仔细分析可知,每一个计算fib2(n)的分支都会衍生出计算直至(1)和fib(0),也就是说每个分支都要自己计算数本身到1的斐波那契数列,这样就增加了庞大且冗杂的运算量,还是以10 为例详细计算说明图中数字代表第N个斐波那契数,图中没有全部将计算步骤画出来,但是已经足够说明问题,它的每一步计算都被分成计算前两个斐波那契数,以此类推。那么这就形成了一颗二叉树,虽然不是满二叉树,但是我们分析的是最坏时间复杂度,而且只要估算出来递归次数随N增长的趋势即可,故可以近似将它看成满二叉树,其中的节点数就是计算的次数,也就是复杂度,由公式:节点数=2^h-1(h为树的高度)可得O(2^n)。

递归的时间复杂度是:  递归次数*每次递归中执行基本操作的次数,所以时间复杂度是: O(2^N)

递归算法空间复杂度分析:

递归最深的那一次所耗费的空间足以容纳它所有递归过程。递归产生的栈侦是要销毁的,所以空间也就释放了,要返回上一层栈侦继续计算+号后面的数,所以它所需要的空间不是一直累加起来的,之后产生的栈侦空间都小于递归最深的那一次所耗费的空间。

递归的深度*每次递归所需的辅助空间的个数 ,所以空间复杂度是:O(N)

6. 求二分法的时间复杂度和空间复杂度

 6.1  非递归算法分析

分析:
假设最坏情况下,循环X次之后找到,则:2^x=n; x=logn(算法中如果没写,log默认底数为2)
循环的基本次数是log2 N,所以: 时间复杂度是O(logN);
由于辅助空间是常数级别的所以:空间复杂度是O(1);

6.2 递归算法复杂度分析

假设最坏情况下,循环X次之后找到,则:2^x=n; x=logn(算法中如果没写,log默认底数为2)
递归的次数和深度都是log2 N,每次所需要的辅助空间都是常数级别的:
时间复杂度:O(log2 N);
空间复杂度:O(log2N )。

7.  扩展-----不用循环法和递归法求1+2+3+...+N(思考一种复杂度为O(1)的解法)

 1 class Temp
 2 {
 3 public:
 4     Temp(){
 5         ++N;
 6         Sum += N;
 7     }
 8     static void Reset(){
 9         N = 0;
10         Sum = 0;
11     }
12     static int GetSum(){
13         return Sum;
14     }
15 private:
16     static int N;
17     static int Sum;
18 };
19 int Temp::N = 0;
20 int Temp::Sum = 0;
21 int solution_Sum(int n){
22     Temp::Reset();
23     Temp *a = new Temp[n];
24     delete[]a;
25     a = 0;
26     return Temp::GetSum();
27 }
28 int main(){
29     cout << solution_Sum(100) << endl;
30     getchar();
31     return 0;
32 
33 }
posted @ 2017-05-13 20:16 滴巴戈 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏