递归和分治思想及其应用

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递归和分治思想

如果可以使用迭代,尽量别使用递归。由编译原理可以知道,每次自调用的时候,计算机都需要保存在调用,浪费时间空间。当然,迭代是当我们知道循环次数的时候。而当我们不知道循环次数,比如说对于文件夹和文件进行遍历,不知道深度的情况下,我们就需要递归来实现。

显然,递归是先解决小的问题,这种思想是分治思想。根据具体需求,来决定是否使用递归。

递归要注意:

  • 结构是选择结构,而迭代是循环结构
  • 必须有基线条件和递归条件,防止出现死循环
  • 如果知道循环次数的话,尽量使用递归
  • 对于某些编程式函数,有对于尾递归的迭代优化
  • 递归逻辑更容易理解

一些实例

逆序输出字符串

#include<iostream>
using namespace std;

void print(){
    char a;
    cin>>a;
    if(a!='#') print(); // 不是停止符,先自调用 
    if(a!='#') cout<<a; //在回来的时候,打印自己的字符 
}
int main(){
    print();
    return 0;
}

查找数组元祖是否存在

很多时候我们需要查找一个数组中是否有一个元素。如果使用迭代,肯定十分简单,时间复杂度为O(n)。

此时,如果使用分而治之的思想,我们可以使用二分法来进行查找。不论多大的数据,时间复杂度显著降低为O(log_2 n)。也就是说一个大小为123456789的数组,使用迭代,我们需要123456789个时间单位。但是二分法只需要27次。

实现思路:

  1. 首先转化的思想对数组进行排序。如果不排序,那么low和high就没有意义了。
  2. 再用迭代进行二分
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int SIZE = 5;
const int NONE = -1;
//二分查找并且返回element的位置,没查找到则返回NONE
template<class T>
int BinFind(T *arr,int low,int high,T elem){  
    int mid;
    if(low>high)
        return NONE;
    else{
        mid = (low+high)/2;
        if(arr[mid] == elem)
            return mid;
        else if(elem>arr[mid])
            return BinFind(arr,mid+1,high,elem);
        else
            return BinFind(arr,low,mid-1,elem);
    }
}
int main(){
    int *arr = new int [SIZE];
    cout<<"请输入"<<SIZE<<"个数据:"; 
    for(int i=0;i<SIZE;++i)
        cin>>arr[i];
    sort(arr,arr+SIZE);
    int elem;
    cout<<"输入您要查找的数据:"<<endl;
    cin>>elem; 
    int index = BinFind(arr,0,SIZE-1,elem);
    if (index+1)
        cout<<"含有这个数据\n";
    else
        cout<<"不含有这个数据";
    return 0;
}

汉诺塔问题

首先我们假设需要移动64层,那么思路如下(附截图):

大问题

此时,需要解决两个问题(附截图):

总问题下的子问题

一直这样类推,知道最后从begin(开始柱子)->end(目标柱子)。

按照第一张截图,我们可以写出来函数里面else的递归部分。并且,每次输出的时候,就对应着思路里面的移动(而不是分治),此时step步数需要加+。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void Hanoi(int num,char begin,char by,char end,int &step){
    if(num==1){
        cout<<begin<<"-->"<<end<<endl;
        ++step;
    }
    else{
        Hanoi(num-1,begin,end,by,step);
        cout<<begin<<"-->"<<end<<endl;
        ++step;
        Hanoi(num-1,by,begin,end,step);
    }
}
int main(){
    int step = 0;
    int num;
    cout<<"汉诺塔层数是: ";
    cin>>num;
    Hanoi(num,'X','Y','Z',step);
    cout<<"一共有:"<<step<<"步数"<<endl; 
    return 0;
}

八皇后问题

在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。正规的方法是递归,如果不考虑效率,这里采用递归实现。假设从第一行开始,每一行都找到符合条件的一个位置,而条件就是新的一行的新位置符合要求,以此类推,就可以写出来递归函数。

#include<iostream>
using namespace std;

const int Q_NUM = 8;
int queens[Q_NUM][Q_NUM] = {0};
int RESULT = 0;

void print(){
    for(int i=0;i<Q_NUM;++i){
        for (int j=0;j<Q_NUM;++j)
            cout<<queens[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl<<endl;
}
bool IfQueen(int row,int col){
    if(row==0){
        //当第一行时候,随便摆放 
        queens[row][col] = 1;
        return true;
    }
    /**************其他时候,需要考虑上面的同一列、左上角斜线、右上角斜线,以下分别实现*****/ 
    for(int i=0;i<row;++i)
        if(queens[i][col]==1)
            return false;
    
    for (int i=row-1,j = col-1;i>=0 && j>=0;--i,--j)
        if(queens[i][j]==1)
            return false;
    
    for(int i=row-1,j=col+1;i>=0 && j<Q_NUM;--i,++j)
        if(queens[i][j]==1)
            return false;
    
    /******当所有情况都满足********/
    queens[row][col] = 1;
    return true;
}
void Queen(int row){
    if(row==Q_NUM){ //注意row是从0开始到Q_NUM-1结束。这样当row==Q_NUM时,已经排完所有情况 
        ++RESULT;   //这样当row==Q_NUM时,已经排完所有情况,进行输出就可以了。 
        print();
        return ;
    } 
    for(int i=0;i<Q_NUM;++i){ //i代表列数 
        if(IfQueen(row,i)) //如果row行i列可以放得话,判断下一行 
            Queen(row+1);
        queens[row][i] = 0; //重置为0,防止下次结果干扰 
    }
}

int main(){
    Queen(0);
    cout<<"一共"<<RESULT<<"种摆法\n";
    return 0;
}

更多:

毫无疑问,递归以及分治思想还有很多用法:斐波那契数列、快速排序、文件查找、字典树的建立等等。理论上递归可以解决任何问题,而作为我们只需要提供思路,其他的交给计算机解决。所以听人说过计算机最适合解决递归问题。但是,有利有弊,递归同样会消耗更多的内存。在初步实现阶段,将大问题分而治之,分装成递归函数,还是逻辑代码化的最佳表达。


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posted @ 2017-06-18 19:54 AsuraDong 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏