图的基本算法(BFS和DFS)(转载)

图是一种灵活的数据结构,一般作为一种模型用来定义对象之间的关系或联系。对象由顶点(V)表示,而对象之间的关系或者关联则通过图的边(E)来表示。 图可以分为有向图和无向图,一般用G=(V,E)来表示图。经常用邻接矩阵或者邻接表来描述一副图。 在图的基本算法中,最初需要接触的就是图的遍历算法,根据访问节点的顺序,可分为广度优先搜索(BFS)和深度优先搜索(DFS)。


广度优先搜索(BFS) 广度优先搜索在进一步遍历图中顶点之前,先访问当前顶点的所有邻接结点。 a .首先选择一个顶点作为起始结点,并将其染成灰色,其余结点为白色。 b. 将起始结点放入队列中。 c. 从队列首部选出一个顶点,并找出所有与之邻接的结点,将找到的邻接结点放入队列尾部,将已访问过结点涂成黑色,没访问过的结点是白色。如果顶点的颜色是灰色,表示已经发现并且放入了队列,如果顶点的颜色是白色,表示还没有发现 d. 按照同样的方法处理队列中的下一个结点。 基本就是出队的顶点变成黑色,在队列里的是灰色,还没入队的是白色。 用一副图来表达这个流程如下:

1.初始状态,从顶点1开始,队列={1}
2.访问1的邻接顶点,1出队变黑,2,3入队,队列={2,3,}
3.访问2的邻接结点,2出队,4入队,队列={3,4}
4.访问3的邻接结点,3出队,队列={4}
5.访问4的邻接结点,4出队,队列={ 空}

从顶点1开始进行广度优先搜索:

  1. 初始状态,从顶点1开始,队列={1}
  2. 访问1的邻接顶点,1出队变黑,2,3入队,队列={2,3,}
  3. 访问2的邻接结点,2出队,4入队,队列={3,4}
  4. 访问3的邻接结点,3出队,队列={4}
  5. 访问4的邻接结点,4出队,队列={ 空} 结点5对于1来说不可达。 上面的图可以通过如下邻接矩阵表示:
    1 int maze[5][5] = {
    2     { 0, 1, 1, 0, 0 },
    3     { 0, 0, 1, 1, 0 },
    4     { 0, 1, 1, 1, 0 },
    5     { 1, 0, 0, 0, 0 },
    6     { 0, 0, 1, 1, 0 }
    7 };

    BFS核心代码如下:

     1 #include <iostream>
     2 #include <queue>
     3 #define N 5
     4 using namespace std;
     5 int maze[N][N] = {
     6     { 0, 1, 1, 0, 0 },
     7     { 0, 0, 1, 1, 0 },
     8     { 0, 1, 1, 1, 0 },
     9     { 1, 0, 0, 0, 0 },
    10     { 0, 0, 1, 1, 0 }
    11 };
    12 int visited[N + 1] = { 0, };
    13 void BFS(int start)
    14 {
    15     queue<int> Q;
    16     Q.push(start);
    17     visited[start] = 1;
    18     while (!Q.empty())
    19     {
    20         int front = Q.front();
    21         cout << front << " ";
    22         Q.pop();
    23         for (int i = 1; i <= N; i++)
    24         {
    25             if (!visited[i] && maze[front - 1][i - 1] == 1)
    26             {
    27                 visited[i] = 1;
    28                 Q.push(i);
    29             }
    30         }
    31     }
    32 }
    33 int main()
    34 {
    35     for (int i = 1; i <= N; i++)
    36     {
    37         if (visited[i] == 1)
    38             continue;
    39         BFS(i);
    40     }
    41     return 0;
    42 }

    深度优先搜索(DFS) 深度优先搜索在搜索过程中访问某个顶点后,需要递归地访问此顶点的所有未访问过的相邻顶点。 初始条件下所有节点为白色,选择一个作为起始顶点,按照如下步骤遍历: a. 选择起始顶点涂成灰色,表示还未访问 b. 从该顶点的邻接顶点中选择一个,继续这个过程(即再寻找邻接结点的邻接结点),一直深入下去,直到一个顶点没有邻接结点了,涂黑它,表示访问过了 c. 回溯到这个涂黑顶点的上一层顶点,再找这个上一层顶点的其余邻接结点,继续如上操作,如果所有邻接结点往下都访问过了,就把自己涂黑,再回溯到更上一层。 d. 上一层继续做如上操作,知道所有顶点都访问过。 用图可以更清楚的表达这个过程:

    1.初始状态,从顶点1开始
    2.依次访问过顶点1,2,3后,终止于顶点3
    3.从顶点3回溯到顶点2,继续访问顶点5,并且终止于顶点5
    4.从顶点5回溯到顶点2,并且终止于顶点2
    5.从顶点2回溯到顶点1,并终止于顶点1
    6.从顶点4开始访问,并终止于顶点4

    从顶点1开始做深度搜索:

    1. 初始状态,从顶点1开始
    2. 依次访问过顶点1,2,3后,终止于顶点3
    3. 从顶点3回溯到顶点2,继续访问顶点5,并且终止于顶点5
    4. 从顶点5回溯到顶点2,并且终止于顶点2
    5. 从顶点2回溯到顶点1,并终止于顶点1
    6. 从顶点4开始访问,并终止于顶点4

      上面的图可以通过如下邻接矩阵表示:

      1 int maze[5][5] = {
      2     { 0, 1, 1, 0, 0 },
      3     { 0, 0, 1, 0, 1 },
      4     { 0, 0, 1, 0, 0 },
      5     { 1, 1, 0, 0, 1 },
      6     { 0, 0, 1, 0, 0 }
      7 };

      DFS核心代码如下(递归实现):

       1 #include <iostream>
       2 #define N 5
       3 using namespace std;
       4 int maze[N][N] = {
       5     { 0, 1, 1, 0, 0 },
       6     { 0, 0, 1, 0, 1 },
       7     { 0, 0, 1, 0, 0 },
       8     { 1, 1, 0, 0, 1 },
       9     { 0, 0, 1, 0, 0 }
      10 };
      11 int visited[N + 1] = { 0, };
      12 void DFS(int start)
      13 {
      14     visited[start] = 1;
      15     for (int i = 1; i <= N; i++)
      16     {
      17         if (!visited[i] && maze[start - 1][i - 1] == 1)
      18             DFS(i);
      19     }
      20     cout << start << " ";
      21 }
      22 int main()
      23 {
      24     for (int i = 1; i <= N; i++)
      25     {
      26         if (visited[i] == 1)
      27             continue;
      28         DFS(i);
      29     }
      30     return 0;
      31 }

      非递归实现如下,借助一个栈:

       1 #include <iostream>
       2 #include <stack>
       3 #define N 5
       4 using namespace std;
       5 int maze[N][N] = {
       6     { 0, 1, 1, 0, 0 },
       7     { 0, 0, 1, 0, 1 },
       8     { 0, 0, 1, 0, 0 },
       9     { 1, 1, 0, 0, 1 },
      10     { 0, 0, 1, 0, 0 }
      11 };
      12 int visited[N + 1] = { 0, };
      13 void DFS(int start)
      14 {
      15     stack<int> s;
      16     s.push(start);
      17     visited[start] = 1;
      18     bool is_push = false;
      19     while (!s.empty())
      20     {
      21         is_push = false;
      22         int v = s.top();
      23         for (int i = 1; i <= N; i++)
      24         {
      25             if (maze[v - 1][i - 1] == 1 && !visited[i])
      26             {
      27                 visited[i] = 1;
      28                 s.push(i);
      29                 is_push = true;
      30                 break;
      31             }
      32         }
      33         if (!is_push)
      34         {
      35             cout << v << " ";
      36             s.pop();
      37         }
      38 
      39     }
      40 }
      41 int main()
      42 {
      43     for (int i = 1; i <= N; i++)
      44     {
      45         if (visited[i] == 1)
      46             continue;
      47         DFS(i);
      48     }
      49     return 0;
      50 }

      有的DFS是先访问读取到的结点,等回溯时就不再输出该结点,也是可以的。算法和我上面的区别就是输出点的时机不同,思想还是一样的。DFS在环监测和拓扑排序中都有不错的应用。

感谢卡巴拉的树提供的文章,本文来自于http://www.jianshu.com/p/70952b51f0c8

posted @ 2017-04-07 22:05 Angel_Kitty 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

ACM竞赛&数学建模竞赛 - 创建于 2017年2月2日

这是一位ACM爱好者&数学爱好者的个人站,内容主要是算法&数据结构&数学研究的技术文章,大部分来自学习,部分来源于网络,希望对大家有所帮助。

致力于ACM算法研究工作,喜爱交友,关注互联网前沿技术与趋势。


Font Awesome | Respond.js | Bootstrap中文网