神经网络算法

我们在设计机器学习系统时,特别希望能够建立类似人脑的一种机制。神经网络就是其中一种。但是考虑到实际情况,一般的神经网络(BP网络)不需要设计的那么复杂,不需要包含反馈和递归。
人工智能的一大重要应用,是分类问题。本文通过分类的例子,来介绍神经网络。

1.最简单的线性分类

一个最简单的分类,是在平面上画一条直线,左边为类0,右边为类1,直线表示为z=ax+by+c


这是一个分类器,输入(x,y),那么,要求的参数有三个:a,b,c。另外注意c的作用,如果没有c,这条直线一定会过原点。
最简单的神经网络
因此,我们可以设计一个简单的神经网络,包含两层,输入层有三个节点,代表x,y,1,三条线分别代表a,b,cg(z)对传入的值x进行判别,并输出结果。

z=θ0+θ1X1+θ2X2


但是,由于z的值可能为[,+],为了方便处理,需要将其压缩到一个合理的范围,还需sigmoid函数:

a(z)=11ez


这样的激励函数,能够将刚才的区间,压缩到[0,1]


至于如何训练,会在之后的章节中讲解。

2.多层级神经网络

刚才展示了最简单的二分类,如果有四个分类,那一条线就无法满足要求了。想象两条直线,就会将平面划分为四个区域,一个三角区域相当于两个子平面求交集。
因此直觉告诉我们,如果有多个神经元,那么这样的问题能表现为问题的“逻辑与”操作。将第一节中介绍的神经网络的输出,再做一个判断层,即多层网络。
单层感知器
但是,如何实现逻辑与呢?用下面的图一目了然:
此处输入图片的描述
仔细看下,这相当于创建一条线,除非x1

x2都等于1,否则hθ(x)<0


进一步地,如果我们能够对区域求并集,那么总可以对不同的子区域求并。而实现并操作和与操作是类似的:
此处输入图片的描述
此处就能看到sigmoid函数的作用了,如果没有它对数值的放缩,并和与的操作就无法实现了。
输出还能作为下一级的输入,从而增加了一个隐层,产生了单隐层神经网络,再复杂一些,如果网络层数特别多,则叫做深度学习网络,简称深度学习。
此处输入图片的描述
之前针对一个线性不可分的区域,需要将其变换到更高维度的空间去处理。但如果用神经网络,你总可以通过n条直线,将整个区间围起来。只要直线数量够多,总能绘制出任意复杂的区域。每一个子区域都是凸域:
此处输入图片的描述
简直不能更酷!下面这张图总结了不同类型的神经网络具备的功能:
此处输入图片的描述
数学家证明了,双隐层神经网络能够解决任意复杂的分类问题。但我们的问题到此为止了吗?不见得!
这里还有几个问题:

  • 异或如何实现?异或肯定是不能通过一条直线区分的,因此单层网络无法实现异或,但两层(包含一个隐层)就可以了。
  • 过拟合问题:过多的隐层节点,可能会将训练集里的点全部围进去,这样系统就没有扩展性了。如何防止过拟合?
  • 如何训练:如何计算出合理的神经网络参数?(隐层节点数)

3.如何训练神经网络

如果一个平面,有6个点,分成三类。如何设计呢?
此处输入图片的描述
一种最狂暴的方法,是对每一个点都用四条线围起来,之后,再对六个区域两两取并集。形成下面这张超复杂的图:
此处输入图片的描述
解释一下为什么要有这么多个节点:
第一层:x,y再加bias,三个
第二层:每个点需要四条线围起来,加上bias,总共4*6+1=25个
第三层:一个节点处于该类的条件是在四条线的中间(交集),因此每四个点汇成一个点,24/4+1=7个
第四层:三分类问题,需要对每两个区域求并集,因此需要6/2+1=4个

但这样的解法,使用了3+25+7+4=39个节点,需要111个参数。这样的系统非常复杂,对未知节点几乎没有任何扩展性。
仔细思考这个问题, 我们能够通过更少的节点和层数,来简化这个问题嘛?只要三条直线就可以!节点数量大大减少。不仅训练效率更高,而且可扩展能力很强。对更复杂的例子,我们又不是神仙,怎么知道设计几个隐层和多少个节点呢?
所谓超参数,就是模型之外的参数,在这个例子中,就是隐层的数量和节点的数量。通常来说,线性分类器(回归)只需要两层即可,对于一般的分类问题,三层足够。
一个三层的神经网络,输入和输出节点的数量已经确定,那如何确定中间层(隐层)的节点数量呢?一般有几个经验:

      • 隐层节点数量一定要小于N-1(N为样本数)
      • 训练样本数应当是连接权(输入到第一隐层的权值数目+第一隐层到第二隐层的权值数目+...第N隐层到输出层的权值数目,不就是边的数量么)的2-10倍(也有讲5-10倍的),另外,最好将样本进行分组,对模型训练多次,也比一次性全部送入训练强很多。
      • 节点数量尽可能少,简单的网络泛化能力往往更强
      • 确定隐层节点的下限和上限,依次遍历,找到收敛速度较快,且性能较高的节点数

如何表示一个神经网络?网络有m层,每层的节点分别为node0,node1...nodem

,节点最多的层,有m个节点,那么我们可以将其表达为一个矩阵W,规模为mn,内部有些值是没有定义的。

 

4.训练算法

线性可分

如果输入和输出是线性关系(或者是正相关),那么想象我们在调节一个参数时,当输出过大,那就把输入调小一些,反之调大一些,最后当输出和我们想要的非常接近时,训练结束。这个就好比,在平面上,如果一个点被分配到了错误的输出,就应该对直线平移和扭转,减少该直线到这个点的距离,从而实现重新分区。
进一步地,如果向量的多个分量互相独立,那么方法也和上面的类似x1=>y1,x2=>y2

,分别调节x1x2

的参数,最终让结果接近,训练结束。
http://www.funnyai.com/AI/Book/DigtalNN/images/4.2.ht11.gif?_=5437973
而一个感知器结构可表示如下:

反思上面的过程,我们实际上是在衡量误差,根据误差来修改权重。

其几何意义就是,误差的偏导,等于在Xk位置上的值,乘以误差,再乘以激励函数的偏导。

所以,每次的权重矩阵W的修改,应当通过求误差的偏导(梯度)来实现。比之前的直接通过误差来调整,具备更好的适应性。

但是,这样的梯度法,对于实际学习来说,效率还是太慢,我们需要更快的收敛方法。

更有趣的是,sigmoid求导之后,特别像高斯(正态)分布,而且sigmoid求导非常容易。

5.总结

这样的一篇文章真是够长了,原本还想再介绍一个神经网络的Python实现,可是考虑到篇幅的限制,最终作罢。在下一期继续介绍如何实现BP神经网络和RNN(递归神经网络)。

posted @ 2017-04-17 23:44 Angel_Kitty 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

ACM竞赛&数学建模竞赛 - 创建于 2017年2月2日

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